拓扑排序：求取拓扑序列

拓扑排序简单讲就是在可求拓扑序列的有向无回路图（有向无环图）中求取拓扑序列的排序算法。

相关概念

拓扑序列

通俗讲就是按活动的先后次序进行排序的序列，并且每一个顶点只出现一次，它可以表述出完成某一项活动所需要的前置活动都有哪一些！当然，一个图的拓扑排序不唯一。

例子：

修学课程都有其先修课程，利用拓扑序列就能快速的获得所有的先修课程

游戏任务都有前置任务，利用拓扑序列，就能清楚所有的任务链条

依赖包的加载顺序也是利用拓扑序列来处理的

求取拓扑序列的图：有向无环图

有向：对于一个顶点到另一个顶点的方向是确定的，也就是连接线出现箭头的图无环：也可称为无回路，从一个顶点出发，经历所有的路径，也不能回到该顶点

所有顶点都满足以上两种情况的图就叫做有向无环图，基本可以认为只有有向无环图才能求取拓扑序列

入度与出度

在有向图中，一个顶点的入度为其所有指向该顶点的箭头个数，出度为其所指向其他顶点的箭头个数。

算法思路

基本思想

找到无入度的顶点，输出该顶点，并将其指向的顶点入度数减一重复第一步，直至所有顶点被输出，拓扑序列完成，如果输出的顶点数小于图中顶点的个数，无拓扑序列

代码实现思路

定义一个队列、输出数组以及 HashMap

队列存储拓扑序列，并最后输出输出数组存放最后队列输出的拓扑序列HashMap 存储结点及其入度值

遍历所有结点，将所有结点（除入度为零的结点）的入度及其值存放到 HashMap 中，将入度为 0 的结点放置到队列之中

遍历结点可用深度优先遍历，也可广度优先遍历

当队列不为空时

输出队列一个结点到输出数组中，设为 a将结点 a 所有指向的顶点入度减一若出现入度为 0 的结点，则存入队列之中

队列为空，输出的顶点个数小于图顶点数，无拓扑序列，输出 null，否则，拓扑序列输出结束，并返回输出数组

邻接矩阵的拓扑序列

public static char[] foundTopology(GraphM g){

Queue queue = new LinkedList<>();

HashMap hashMap= new HashMap<>();

char[] res = new char[g.VertexNum];

//计算每个结点入度值

for (int i = 0;i < g.VertexNum;i++){

String key = String.valueOf(g.Vertex[i]);

int value = 0;

for (int j = 0;j < g.VertexNum;j++){

if (g.EdgeWeight[j][i]!=0){

value++;

}

}

if (value==0){

queue.add(i);

}

hashMap.put(key,value);

}

int j = 0;

while(!queue.isEmpty()){

int getKey = queue.remove();

res[j++] = g.Vertex[getKey];

for (int k = 0;k < g.VertexNum;k++){

String getPointKey = String.valueOf(g.Vertex[k]);

int getPointValue = hashMap.get(getPointKey);

if (g.EdgeWeight[getKey][k] != 0 && getPointValue != 0){

hashMap.put(getPointKey,getPointValue-1);

if (getPointValue-1==0){

queue.add(k);

}

}

}

}

if (j == g.VertexNum){

return res;

}

return null;

}

邻接表的拓扑序列

由于拓扑序列的求取只需对两点之间的关联关系做出判断，采取邻接矩阵存储结构的图会是更好的选择。如果需要采取邻接表的存储结构来实现的话，更为推荐反向邻接表的形式来进行求取，即以终点指向起点的方式，求取对应的入度值会更为方便，在这里就不对其在多加讨论，可以自行扩展。

当然，实现本代码的前提是能够定义一个有向图，并且遍历图，也为方便以上拓扑排序代码的阅读，故此补充相关的知识。

定义图及其遍历

图的定义一般如下两种方法：

邻接矩阵法邻接表法

邻接：两个顶点间存在边或弧

图的遍历可以分为如下两种方法：

深度优先遍历 DFS广度优先遍历 BFS

同一遍历方法的遍历顺序可能唯一，原因如下：

存储结构不同：邻接表、邻接矩阵出发结点不同连通与否

邻接矩阵法

定义一个二维数组，其中行代表起点，列代表终点，如果两者之间存在连接关系，值为 1 ，否则为 0 。它关于主对角线对称。

算法步骤：

确定图的类型（有向图、无向图）、顶点个数、边个数、权值输入所有顶点，存进顶点数组中将边数组定义为 EdgeWeight[顶点数] [顶点数]，输入所有边的起点、终点以及权值，在顶点数组中找到对应起点、终点的下标输入对应权值，赋值给 EdgeWeight[起点下标] [终点下标]，若为无向图，对应权值再赋值给 EdgeWeight[终点下标] [起点下标]，保证双向输出邻接矩阵

邻接矩阵代码

//图邻接矩阵结构

class GraphM {

static final int MaxNum = 20; //图的最大顶点数

static final int MaxValue = 65535; //最大值

int GType; //图的类型（0:无向图 1：有向图）

int VertexNum;//顶点数量

int EdgeNum; //边的数量

char[] Vertex = new char[MaxNum]; //保存顶点信息

int[][] EdgeWeight = new int[MaxNum][MaxNum];//保存权

public GraphM(int GType,int VertexNum,int EdgeNum){

this.GType = GType;

this.EdgeNum = EdgeNum;

this.VertexNum = VertexNum;

}

}

public class graphMaterix {

//创建图邻接矩阵

public static void creatGraph(GraphM gm) {

int i, j, k;

int weight; //权

char startV, endV; //起始，终止顶点

Scanner input = new Scanner(System.in);

System.out.println("输入图中各顶点信息:");

for (i = 0; i < gm.VertexNum; i++) {

System.out.println("第" + (i + 1) + "个顶点");

gm.Vertex[i] = (input.next().toCharArray())[0];//保存到顶点数组中

}

System.out.println("输入各边的顶点及权值：");

for (k = 0; k < gm.EdgeNum; k++) {

System.out.println("第" + (k + 1) + "条边");

System.out.println("边的起点为：");

startV = input.next().charAt(0);

System.out.println("边的终点为：");

endV = input.next().charAt(0);

System.out.println("边的权值为：");

weight = input.nextInt();

for (i = 0; gm.Vertex[i] != startV; i++) ; //在顶点数组中查找起点位置

for (j = 0; gm.Vertex[j] != endV; j++) ; //在顶点数组中查找终点位置

gm.EdgeWeight[i][j] = weight;

if (gm.GType == 0) {

gm.EdgeWeight[j][i] = weight;

}

}

input.close();

}

//显示图邻接矩阵

public static void outGraph(GraphM gm){

for(int i=0;i

System.out.printf(String.valueOf(gm.Vertex[i])+" "); //第一行输出顶点信息

}

System.out.println();

for(int i=0;i

System.out.printf(String.valueOf(gm.Vertex[i])+" ");

for(int j=0;j

if(gm.EdgeWeight[i][j]==gm.MaxValue){

System.out.printf(" ");

}else{

System.out.printf(String.valueOf(gm.EdgeWeight[i][j])+" ");

}

}

System.out.println();

}

}

public static void main(String[] args) {

int Gtype;//图的类型（0:无向图 1：有向图）

int VertexNum;//顶点数量

int EdgeNum; //边的数量

Scanner in = new Scanner(System.in);

System.out.println("请输入图类型（0:无向图 1：有向图）");

Gtype = in.nextInt();

System.out.println("请输入顶点数目！");

VertexNum = in.nextInt();

System.out.println("请输入边数目！");

EdgeNum = in.nextInt();

GraphM gm = new GraphM(Gtype,VertexNum,EdgeNum);

creatGraph(gm);

outGraph(gm);

in.close();

}

}

邻接表法

邻接表是以单链表的进行存储的，每个单链存储某个点可到达的所有点，当然，也可使用数组来实现，这里暂时不提及

算法步骤

确定图的类型（有向图、无向图）、顶点个数、边个数、权值

定义三个结点类，

包含结点编号、下一结点指针以及权值的边结点类 A，包含结点编号以及下一边结点指针的表头结点类 B包含起点字符、终点字符、权值的边结点类 C

输入所有顶点，并构造为一个结点类 A 类型 ，下一个边结点设置为空，存进顶点结点数组中，作为链表表头，其下标为其编号

输入所有边的起点、终点以及权值，构造出一个结点类型 C 类型，并存进边数组中

插入边（前插法：在表头指针与下一边结点指针之间插入）

在顶点数组中找到对应起点、终点的下标构造一个边结点 A 类型，使其值为终点值，下一指针值为表头结点的原下一个结点指针，并赋值权值使其起点对应的表头结点的下一指针值为新边结点若为无向图，起点终点转换，再插入边，保证双向边

直至遍历完所有边数组即可输出邻接表

表头结点下一结点指针为空输入表头元素->NULL若表头结点下一结点指针不为空遍历其单链表，输出所有元素

邻接表代码

import java.util.Scanner;

//边结点类

class edgeNode{

int index; //边终点对应的下标

edgeNode next; //下一个结点

int edgeWeight; //权值

public edgeNode(int index,edgeNode next,int edgeWeight){

this.index = index;

this.next = next;

this.edgeWeight = edgeWeight;

}

}

//顶点结点类

class vertexNode{

char date; //顶点元素

edgeNode firstNode; //第一个边结点

public vertexNode(char date,edgeNode firstNode){

this.date = date;

this.firstNode = firstNode;

}

}

//图邻接表

class graph{

int GType; //图的类型（0:无向图 1：有向图）

int verNum; //顶点数

int edgeNum; //边数

vertexNode[] vertex; //所有的顶点

public graph(int GType, int verNum, int edgeNum) {

this.GType = GType;

this.verNum = verNum;

this.edgeNum = edgeNum;

this.vertex = new vertexNode[verNum];

}

}

//边信息

class edge{

char began; //起点

char end; //终点

int weight; //权值

public edge(char began, char end, int weight) {

this.began = began;

this.end = end;

this.weight = weight;

}

}

public class graphTable {

//查找对应下标

public static int getIndex(graph g,char target){

for (int i = 0;i < g.verNum;i++){

if (g.vertex[i].date == target){

return i;

}

}

return -1;

}

//插入一条边

public static int insertEdge(graph g, edge edge){

int began = getIndex(g,edge.began);

int end = getIndex(g,edge.end);

if (began == -1 || end == -1){//无效边

return -1;

}

//前插法、后插法，这里使用前插法，无需遍历

g.vertex[began].firstNode = new edgeNode(end,g.vertex[began].firstNode, edge.weight);

if (g.vertex[began].firstNode==null){

return -2;

}

if(g.GType == 0){

g.vertex[end].firstNode = new edgeNode(began,g.vertex[end].firstNode,edge.weight);

}

++g.edgeNum;

return 0;

}

//创建图

public static void createGraph(graph g,char[] vertex,

int verNum, edge[] edges,

int edgeNum,int gType){

g.verNum = 0;

g.edgeNum = 0;

g.GType = gType;

for(int i = 0;i

g.vertex[i] = new vertexNode(vertex[i],null);

++ g.verNum;

}

for (int i = edgeNum-1;i >= 0;--i){

int value = insertEdge(g,edges[i]);

if (value != 0){

//插入一条边失败

System.out.println("插入边失败");

}

}

}

//展示图

public static void graphShow(graph g){

System.out.println("邻接表如下：");

for(int i = 0;i < g.verNum;i++){

edgeNode firstNode = g.vertex[i].firstNode;

if (firstNode == null){

System.out.println(g.vertex[i].date+"->NULL");

continue;

}

System.out.print(g.vertex[i].date+"->"+firstNode.index);

while (firstNode.next!=null){

System.out.print("->"+firstNode.next.index);

firstNode = firstNode.next;

}

System.out.println();

}

}

public static void main(String[] args) {

Scanner input = new Scanner(System.in);

System.out.println("请输入图的类型！（0：无向图；1：有向图）");

int gType = input.nextInt();//图的类型

System.out.println("请输入顶底数");

int vertNum = input.nextInt();//顶点数

System.out.println("请输入边数");

int edgeNum = input.nextInt();//边数

char[] vertex = new char[vertNum];//顶点字符

edge[] edge = new edge[edgeNum];//创建边结点数组

graph g = new graph(gType,vertNum,edgeNum);

//输入顶点

for (int i = 0;i

System.out.println("请输入"+i+"个结点");

vertex[i] = input.next().charAt(0);

}

for (int i = 0;i

System.out.println("请输入起点");

char began = input.next().charAt(0);

System.out.println("请输入终点");

char end = input.next().charAt(0);

System.out.println("请输入权值");

int weight = input.next().charAt(0);

edge[i] = new edge(began,end,weight);

}

createGraph(g,vertex,vertNum,edge,edgeNum,1);

graphShow(g);

}

}

当然，图的表示不止有以上两者方法，多种多样，可根据需要进行选择。选择方法可参考如下：

稀疏图：当边的数量远小于顶点数的平方时稠密图：当边的数量接近或大于顶点数的平方时

通常情况下，使用邻接表表示稀疏图，使用邻接矩阵表示稠密图。不过，如要验证两顶点是否相连，使用邻接矩阵会是个更好选择，因为邻接矩阵为一个二维数组，查询时间复杂度为 O(1)，效率更高。

不同结点出发的遍历顺序一定不唯一，同一结点出发的遍历顺序可能不唯一。

深度优先遍历 DFS

每次遍历都先到结点深度最深处，再回溯到上一可切换路径的结点进行又一重复遍历

步骤：

从图中某个顶点 v 出发记录此节点，并从 v 未被访问的顶点出发直至与顶点 v 有路径连通的顶点都被访问若图中仍有没被访问的结点，则从其中未被访问的结点出发，重复以上过程直至所有结点都被访问

邻接矩阵深度优先遍历

//深度优先遍历算法

public static void DFSserver(GraphM g, boolean[] visited, int i) {

for (int j = 0;j < g.VertexNum;j++){

if (g.EdgeWeight[i][j] != 0 && !visited[j]){

DFSserver(g,visited,j);

}

}

}

//深度优先遍历操作

public static char[] DFS(GraphM g){

char[] res = new char[g.VertexNum];

boolean[] visited = new boolean[g.VertexNum];

int k = 0;

for (int i = 0;i < g.VertexNum;i++){

if (!visited[i]){

visited[i] = true;

res[k++] = g.Vertex[i];

DFSserver(g,visited,i);

}

}

return res;

}

邻接表深度优先遍历

//深度优先遍历算法 DFS

public static void DFSserver(GraphT g,boolean[] visited,int i) {

edgeNode firstNode = g.vertex[i].firstNode;

while (firstNode!=null){

if (!visited[firstNode.index]){

DFSserver(g,visited,firstNode.index);

}

firstNode = firstNode.next;

}

}

//深度优先遍历操作

public static char[] DFS(GraphT g){

char res[] = new char[g.verNum];

boolean[] visited = new boolean[g.verNum];

int j = 0;

for(int i = 0;i < g.verNum;i++){

if (!visited[i]){

visited[i] = true;

res[j++] = g.vertex[i].date;

DFSserver(g,visited,i);

}

}

return res;

}

广度优先遍历 BFS

遍历一个结点先将其所有指向结点遍历，在进入下一层进行遍历

定义一个队列以及一个标记数组取图某一结点 A ，入队，并在标记数组对应值标记为 True将每一个与结点 A 相关联的结点一一判断是否已被标记为 True ，

若已标记，跳过若存在未被标记的结点，即结点 A 出队，未被标记的结点入队

依次将入队元素一一入队，重复第三步队列为空，广度优先遍历结束

邻接矩阵广度优先遍历

//广度优先遍历 BFS

public static char[] BFS(GraphM g){

boolean[] visited = new boolean[g.VertexNum];

Queue queue = new LinkedList<>();

char[] res = new char[g.VertexNum];

int j = 0;

for (int i = 0; i < g.VertexNum;i++){

if (!visited[i]){

visited[i] = true;

res[j++] = g.Vertex[i];

queue.add(i);

while (!queue.isEmpty()){

queue.remove();

for (int k = 0;k

if (g.EdgeWeight[i][k] != 0 && !visited[k]){

visited[k] = true;

res[j++] = g.Vertex[k];

queue.add(k);

}

}

}

}

}

return res;

}

邻接表广度优先遍历

//邻接表广度优先遍历 BFS

public static char[] BFS(GraphT g){

boolean[] visited = new boolean[g.verNum];

Queue queue = new LinkedList<>();

char[] res = new char[g.verNum];

int j = 0;

for (int i = 0; i < g.verNum;i++){

if (!visited[i]){

visited[i] = true;

res[j++] = g.vertex[i].date;

queue.add(i);

while (!queue.isEmpty()){

queue.remove();

edgeNode firstNode = g.vertex[i].firstNode;

while (firstNode != null){

if (!visited[firstNode.index]){

visited[firstNode.index] = true;

res[j++] = g.vertex[firstNode.index].date;

queue.add(firstNode.index);

}

firstNode = firstNode.next;

}

}

}

}

return res;

}